CONTRUÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS, NÚMEROS FRACIONÁRIOS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES


O número racional pode ser definido a partir da aritmética – fechamento da operação de divisão entre inteiros – ou partir da geometria - medidas de segementos . Neste texto, optamos pela abordagem aritmética.


Divisão entre números inteiros

Como já vimos, a operação de divisão é definida para números inteiros do seguinte modo:

 

m : n = p se e só se m = n . p, com n 0

 

Nos inteiros, divisão não tem a propriedade fechamento, pois o quociente m : n é inteiro se e só se m é múltiplo de n e n 0.

Múltiplo e divisor de um número:


Para a, b Z+
1) m é múltiplo de n se e só se existe um inteiro p, tal que m = p.b
2) n é divisor de m se existe um inteiro p, tal que m : n = p

 

Existem propriedades para os números múltiplos e para a divisão:

Para m, n Z+

1. m é múltiplo de 1 e múltiplo dele mesmo, se não for nulo.

2. 1 é divisor de todos os números inteiros.

3. 0 não divide número algum

4. 0 é múltiplo de todos os números não nulos.

5. Para cada divisão m : n , com n 0, existe uma família infinita de divisões que têm o mesmo quociente. Estas divisões são equivalentes e são obtidas combinando pares de múltiplos e pares de divisores de m e n, isto é, dados m, n 0 e
p 0 , m : n = pm : pn

6. Para cada m, n 0, m : n = 0 se e só se m = 0.

É essencial que você estude as demonstrações destas propriedades, em Apresentação: múltiplos e divisores.



Fração, número fracionário, reprentação fracionária

Para completar a operação de divisão, define-se um novo conjunto numérico, o conjunto dos racionais: Q+

Para isto, amplia-se o conjunto dos inteiros, incluindo todo os quocientes m : n de números inteiros, desde que
n 0.

 

 




Definição de número racional

 

 

O conjunto dos números racionais inclui todos os números resultantes da divisão de inteiros. Por enquanto estamos restritos aos números positivos, mas todos estes resultados podem ser estendidos para números negativos. Portanto,

 

 



O número racional admite diferentes formas de representação: representação fracionária (fração ou número fracionário), representação decimal (número decimal) ou representação porcentual ( número porcentual ).



Definições e Operações com frações



Isto é, conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos racionais.

Exemplos de números racionais fracionários:

 

 




Número primo

 

Um inteiro p, não nulo, é um número primo se admite dois e apenas dois divisores: 1 e ele mesmo p.

 

Exemplos: 2; 3; 5; 23.

O número 1 não é considerado primo, pois só tem um divisor, ele mesmo.



Primos entre si

Dois inteiros p e q, diferentes, são números primos entre si se o único divisor comum entre eles é 1.

 

Exemplos de números primos entre si estão nas frações irredutíveis acima:
1 e 2; 1 e 5; 9 e 16; 9 e 25

A seguir, definimos as operações com racionais :

As justificativas das operações encontram-se na Apresentação: definições e justificativas das operações com racionais. É essencial que você estude este material.

Nas definições, m, n, p, q e outras simbologias dizem respeito a números inteiros. Sempre que os símbolos estiverem representando denominadores das frações, está implícito que é um número não nulo.
Quando quisermos representar um racional com uma única letra, isto ficará claro.



Adição

Definição

 


Subtração

Definição

 


Relação de Equivalência

 

 


 

Relação de Ordem

 

 



Multiplicação

Definição

 


Divisão

 

 


Propriedades das operações

Todas as propriedades das operações com inteiros são válidas neste novo conjunto numérico:

 

a) Leis comutativas e associativas da adição e da multiplicação;
b) Lei distributiva da multiplicação com relação à adição
c) Existência dos elementos neutros da adição (0) e da multiplicação (1);

 

Neste conjunto, existe uma nova propriedade:

 

 

d) Propriedade do Elemento Inverso da Multiplicação



 

 

e) Lei do Cancelamento para Adição
Se x,y e z representam números racionais

Se x + y = x + z então y = z

f) Lei do Cancelamento para Multiplicação
Se x,y e z representam números racionais, não nulos,

Se xy = xz então y = z

 

A seguir tratamos da potenciação.

Todas as propriedades apresentadas neste texto são justificadas, na Apresentação: definições e propriedades das potências. É essencial que você estude o material desta apresentação.

 

Potenciação

Neste módulo, vamos restringir-nos às definições de potenciação com expoente inteiro, positivo, e base fracionária.

Este assunto vai ser plenamente desenvolvido quando tratarmos do conjunto dos reais completo, incluindo reais negativos.

Definição

 

 

 


Propriedades da Potenciação
Considerando a base como um racional não nulo
e o expoente como um inteiro positivo



1ª propriedade: Uma multiplicação de potências de mesma base pode ser transformada em uma só potência.

Conservamos a base e somamos os expoentes.

 


2ª propriedade: Um quociente de potências de mesma base pode ser transformado em uma só potência.

Conservamos a base e subtraímos os expoentes.

 



3ª propriedade: Um produto elevado a um expoente pode ser transformado num produto de potências, com o mesmo expoente.

Conservamos o expoente, multiplicamos duas potências com o mesmo expoentes.

 


4ª propriedade: Uma potência elevada a outra potência pode ser transformada em uma única potência.

Conservamos a base e multiplicamos os expoentes.



5ª propriedade: Base fracionária a = p/q, q 0.

Em uma fração elevada a um expoente, podemos elevar cada número a esse expoente.

 

Estudando as opções para inclusão do zero


Radiciação

Define-se raiz n de x, para x racional positivo, como operação inversa da potência.

 



6ª propriedade: Expoente fracionário

Quando definirmos número real, veremos que um número real positivo qualquer, elevado a um expoente fracionário, corresponde a uma raiz.

 

 

Exemplos:



Como conseqüência desta propriedade, temos:

 

 

A potenciação é operação fechada nos inteiros positivos, pois decorre da multiplicação, mas quando extendida aos números racionais deixa de ser.

Mas radiciação não é fechada nos inteiros e tampouco nos racionais.

Mostraremos logo mais que raiz quadrada de 2 não é um número racional. Na verdade qualquer raiz não exata de positivos gera um número irracional.

 


GLOSSÁRIO



Fração

Representações

Potenciação

Radiciação

 

Este texto foi fundamentado em:
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais de Matemática. Lisboa: Gradiva, 1998, páginas 35 a 45, trecho do capítulo 2:1 – A construção do campo racional.